Роман Лєщєнко народився у місті Сіверськодонецьк. Закінчив Сєвєродонецький хіміко-механічний технікум Східноукраїнського національного університету за спеціальністю «Конструювання, виробництво і технічне обслуговування виробів електричної техніки», здобувши кваліфікацію техніка-електроніка. Також закінчив Краматорське вище професійне машинобудівне училище, де отримав професію машиніста крана металургійного виробництва. Працював машиністом крана в електросталеплавильному цеху, а згодом — у філії «Первомайський райавтодор».

Під час повномасштабного вторгнення проходив військову службу на посаді інспектора-снайпера третьої комендантської групи комендантського відділення відділу організаційно-мобілізаційної роботи та повсякденної діяльності військової частини. На жаль, життя захисника обірвалося внаслідок тяжкого захворювання.